Contributions to the theory of near-vector spaces, their geometry, and hyperstructures
Date
2022-12
Authors
Journal Title
Journal ISSN
Volume Title
Publisher
Stellenbosch : Stellenbosch University
Abstract
ENGLISH ABSTRACT: This thesis expands on the theory and application of near-vector spaces — in particular, the
underlying geometry of near-vector spaces is studied, and the theory of near-vector spaces is
applied to hyperstructures.
More specifically, a near-linear space is defined and some properties of these spaces are proved.
It is shown that by adding some axioms, the nearaffine space, as defined by André, i s obtained.
A correspondence is shown between subspaces of nearaffine spaces generated by near-vector
spaces, and the cosets of subspaces of the corresponding near-vector space. As a highlight, some of the geometric results are used to prove an open problem in near-vector space theory, namely that a
non-empty subset of a near-vector space that is closed under addition and scalar multiplication is
a subspace of the near-vector space. The geometric work of this thesis is concluded with a first look into the projections of nearaffine s paces, a branch of the geometry that contains interesting avenues for future research.
Next the theory of hyper near-vector spaces is developed. Hyper near-vector spaces are defined having similar properties to André’s near-vector space. Important concepts, including
independence, the notion of a basis, regularity, and subhyperspaces are defined, and an analogue
of the Decomposition Theorem, an important theorem in the study of near-vector spaces, is
proved for these spaces.
AFRIKAANS OPSOMMING: Hierdie tesis bou op die teorie en toepassing van naby-vektorruimtes — besonderlik word die onderliggende meetkunde van naby-vektorruimtes bestudeer en die teorie van naby-vektorruimtes word toegepas op hiperstrukture. Spesifiek work ’n naby-lineêre ruimte gedefinieer en sommige eienskappe van hier- die ruimtes word bewys. Dit word bewys dat, deur sekere aksiomas by te las, die naby-affiene ruimte, soos gedefinieer deur André, verkry w ord. ’n Verwantskap tus- sen die deelruimtes van naby-affiene ruimtes gegenereer deur naby-vektorruimtes en die resklasse van die deelruimtes van die verwante naby-vektorruimte word be- wys. As ’n hoogtepunt word van die meetkundige resultate gebruik om ’n oop probleem op te los in naby-vektorruimteteorie, naamlik dat ’n nie-leë deelversa- meling van ’n naby-vektorruimte wat geslote is onder optelling en skalaarverme- nigvuldiging ’n deelruimte is van die naby-vektorruimte. Die meetkundige werk in dié tesis sluit af met ’n eerste bestudering van projeksies van naby-affiene ruimtes, ’n tak in die meetkunde wat interessante toekomstige navorsingsrigtings bevat. Volgende word die teorie agter hiper naby-vektorruimtes ontwikkel. Hiper naby- vektorruimtes word gedefinieer s oortgelyk a an A ndré s e n aby-vektorruimte. Be- langrike konsepte, insluitent onafhanklikheid, die begrip van ’n basis, regulêriteit en hiper-deelruimtes word gedefinieer e n ’ n analoog van die Ontbindingstelling, belangrik in die teorie van naby-vektorruimtes, word bewys vir hierdie ruimtes.
AFRIKAANS OPSOMMING: Hierdie tesis bou op die teorie en toepassing van naby-vektorruimtes — besonderlik word die onderliggende meetkunde van naby-vektorruimtes bestudeer en die teorie van naby-vektorruimtes word toegepas op hiperstrukture. Spesifiek work ’n naby-lineêre ruimte gedefinieer en sommige eienskappe van hier- die ruimtes word bewys. Dit word bewys dat, deur sekere aksiomas by te las, die naby-affiene ruimte, soos gedefinieer deur André, verkry w ord. ’n Verwantskap tus- sen die deelruimtes van naby-affiene ruimtes gegenereer deur naby-vektorruimtes en die resklasse van die deelruimtes van die verwante naby-vektorruimte word be- wys. As ’n hoogtepunt word van die meetkundige resultate gebruik om ’n oop probleem op te los in naby-vektorruimteteorie, naamlik dat ’n nie-leë deelversa- meling van ’n naby-vektorruimte wat geslote is onder optelling en skalaarverme- nigvuldiging ’n deelruimte is van die naby-vektorruimte. Die meetkundige werk in dié tesis sluit af met ’n eerste bestudering van projeksies van naby-affiene ruimtes, ’n tak in die meetkunde wat interessante toekomstige navorsingsrigtings bevat. Volgende word die teorie agter hiper naby-vektorruimtes ontwikkel. Hiper naby- vektorruimtes word gedefinieer s oortgelyk a an A ndré s e n aby-vektorruimte. Be- langrike konsepte, insluitent onafhanklikheid, die begrip van ’n basis, regulêriteit en hiper-deelruimtes word gedefinieer e n ’ n analoog van die Ontbindingstelling, belangrik in die teorie van naby-vektorruimtes, word bewys vir hierdie ruimtes.
Description
Thesis (PhD)--Stellenbosch University, 2022.
Keywords
Near-vector spaces, Nearaffine spaces, Incidence geometry -- Mathematical models, Hypergroups, Hyper near-vector spaces, Geometry, Differential, Decomposition theorem -- Mathematical models, UCTD